TEMA 4. Líneas y puntos notables

TEMA 4. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Logro: Reconocer las rectas y puntos notables en un triángulo.

Utilizar las rectas notables para modelar construcciones que requieren de condiciones específicas.

Formación intelectual: Leo, observo y comprendo

En un triángulo se pueden trazar cuatro tipos de líneas notables: las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices.

Altura y ortocentro

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde un vértice hasta la recta que contiene al lado opuesto a este.

Altura desde A hasta BC Altura desde B hasta AC Altura desde C hasta AB

Mediana y baricentro

La mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son el vértice y el punto medio del lado opuesto. Para trazar las medianas de un triángulo se ubican los puntos medios de cada lado. Luego, se trazan los segmentos que unen a cada vértice y al punto medio del lado opuesto.

Si se trazan las tres medianas de un triángulo, estas concurren en un mismo punto que se denomina baricentro. a diferencia del ortocentro, el baricentro siempre se encuentra en el interior del triángulo, si importar si es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, como se muestra a continuación.

En cualquier triángulo se cumple que si x es la longitud de una de las medianas, la distancia entre el vértice correspondiente a esa mediana y el baricentro es igual a 2/3x.

Mediatriz y circuncentro

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular que pasa por su punto medio. Las mediatrices de los lados de un triángulo se pueden construir con regla y compás. Así, para construir la mediatriz del lado YR de un ΔTYR se realizan los siguientes pasos.

Por tanto, la recta AB es la mediatriz de YR, ya que es perpendicular a este lado en su punto medio M.

Bisectriz e incentro

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que lo divide en dos ángulos congruentes. Para trazar la bisectriz del ángulo ∢IGH en un ΔGHI, utilizando regla y compás, se realizan los siguientes pasos.

Por tanto, GC es la bisectriz del ∢IGH, ya que divide a este ángulo en dos ángulos congruentes.

Si se trazan las tres alturas de un triángulo, estas concurren en un mismo punto que se denomina ortocentro. Así en el ΔPQR el ortocentro es el punto O. En este caso el ortocentro se encuentra en el exterior del triángulo y para ubicarlo se prolongan las tres alturas..

Si se trazan las tres mediatrices de un triángulo, estas concurren en un mismo punto que se denomina circuncentro. Así, el circuncentro del ΔOPR es el punto U. Una de las propiedades del circuncentro es que equidista de los tres vértices del triángulo, por esto, si se hace centro en U es posible trazar una circunferencia que pase por los tres vértices del ΔOPR. De esta forma el triángulo queda inscrito en la circunferencia.

Si se trazan las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo, estas concurren en un mismo punto que se denomina incentro. Así, el incentro del ΔPQR es el punto O.